Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Алгебраические задачи на неравенство треугольника» для 8-10 класса - сложность 3-5 с решениями

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>²<i>b</i>(<i>a</i> - <i>b</i>) + <i>b</i>²<i>c</i>(<i>b</i> - <i>c</i>) + <i>c</i>²<i>a</i>(<i>c</i> - <i>a</i>) $\displaystyle \geq$ 0. </div>

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> (<i>a</i> + <i>b</i> - <i>c</i>)(<i>a</i> - <i>b</i> + <i>c</i>)(- <i>a</i> + <i>b</i> + <i>c</i>) $\displaystyle \leq$ <i>abc</i>. </div>

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Пусть <i>p</i>=${\frac{a}{b}}$+${\frac{b}{c}}$+${\frac{c}{a}}$и <i>q</i>=${\frac{a}{c}}$+${\frac{c}{b}}$+${\frac{b}{a}}$. Докажите, что |<i>p</i>-<i>q</i>| < 1.