Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Ломаные внутри квадрата»

Внутри квадрата со стороной 100 расположена ломаная <i>L</i>, обладающая тем свойством, что любая точка квадрата удалена от <i>L</i>не больше чем на 0, 5. Докажите, что на <i>L</i>есть две точки, расстояние между которыми не больше 1, а расстояние по <i>L</i>между ними не меньше 198.

Внутри квадрата со стороной 1 расположено <i>n</i>²точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая все эти точки, длина которой не превосходит 2<i>n</i>.

В квадрате со стороной 1 расположена ломаная длиной <i>L</i>. Известно, что каждая точка квадрата удалена от некоторой точки этой ломаной меньше чем на $\varepsilon$. Докажите, что тогда <i>L</i>$\geq$${\frac{1}{2\varepsilon }}$-${\frac{\pi\varepsilon }{2}}$.

Внутри квадрата со стороной 1 расположена несамопересекающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая эту ломаную по крайней мере в 500 точках.