Олимпиадные задачи из источника «выпуск 8» для 8 класса - сложность 2-5 с решениями

Найдите суммы

  а)   1·<i>n</i> + 2(<i>n</i> – 1) + 3(<i>n</i> – 2) + ... + <i>n</i>·1.

  б)   <i>S_n,k</i> = (1·2·...·<i>k</i>)·(<i>n</i>(<i>n</i> – 1)...(<i>n</i> – <i>k</i> + 1)) + (2·3·...·(<i>k</i> + 1))·((<i>n</i> – 1)(<i>n</i> – 2)...(<i>n</i> – <i>k</i>)) + ... + ((<i>n</i> – <i>k</i> + 1)(<i>n</i> – <i>k</i> + 2)...·<i>n</i>)·(<i>k</i>(<i>k</i> – 1)·...·1).

На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.

Окружность, построенная на высоте <i>AD</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> как на диаметре, пересекает катет <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а катет <i>AC</i> — в точке <i>M</i>. Отрезок <i>KM</i> пересекает высоту <i>AD</i> в точке <i>L</i>. Известно, что отрезки <i>AK</i>, <i>AL</i> и <i>AM</i> составляют геометрическую прогрессию (т.е. <!-- MATH $\frac{AK}{AL} = \frac{AL}{AM}$ --> ${\frac{AK}{AL}}$ = ${\frac{AL}{AM}}$). Найдите острые углы треугольника <i>ABC</i>.