Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2» для 7-9 класса - сложность 3 с решениями
выпуск 2
НазадЧисло 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа 76² = 5776 – это снова 76.
а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
б) Найдите все такие трёхзначные числа <i>A</i>, что последние три цифры числа <i>A</i>² составляют число <i>А</i>.
в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., что для любого натурального <i>n</i> квадрат числа <span style="text-decoration: overline;"><i>a<sub>n</sub>a</i><sub><i>n</i>–1</sub>...<i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>1<...
Вот несколько примеров, когда сумма квадратов<nobr><i>k</i> последовательных</nobr>натуральных чисел равна сумме квадратов<nobr><i>k</i> – 1</nobr>следующих натуральных чисел:3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>, 36<sup>2</sup> + 37<sup>2</sup> + 38<sup>2</sup> + 39<sup>2</sup> + 40<sup>2</sup> = 41<sup>2</sup> + 42<sup>2</sup> + 43<sup>2</sup> + 44<sup>2</sup>, 55<sup>2</sup> + 56<sup>2</sup> + 57<sup>2</sup> + 58<sup>2</sup> + 59<sup>2</sup> + 60<sup>2</sup> = 61<sup>2</sup> + 62<sup>2</sup> + 63...