Олимпиадные задачи из источника «выпуск 10» для 10-11 класса - сложность 2-5 с решениями

Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно, что их можно разбить на <i>k</i> равных по массе групп.

Доказать, что не менее чем <i>k</i> способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на <i>k</i> равных по массе групп.

Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число $1$, $2$, $3$, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?