Олимпиадные задачи из источника «выпуск 8»
выпуск 8
НазадРадиус <i>OM</i> круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол <sup>360°</sup>/<sub><i>N</i></sub> (<i>N</i> – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение <i>OM</i><sub>0</sub>, через секунду – <i>OM</i><sub>1</sub>, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – <i>OM</i><sub>2</sub>, ещё через три секунды после этого – <i>OM</i><sub>3</sub>, и т. д., ещё через <i>N</i> – 1 секунду после <i>ОМ</i><sub><i>N</i>–2</sub> – <i>OM</i><sub><i>N</i>–1</sub>.
При каких <i>N...
В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры 0, 1, 2, 3, ..., 9 так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.
а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?
б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.