Олимпиадные задачи из источника «выпуск 3»

В прямоугольной таблице <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов  (<i>m < n</i>).  В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  <i>d</i>₁, <i>d</i>₂, <i>d</i>₃, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   ¹/_<i>d</i>₁ + ¹/_<i>d</i>₂ + ... + ¹/<i>_{d_k}</i>   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:

  а) общее число прогрессий конечно;

  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимат...

Можно ли так выбрать шар, треугольную пирамиду и плоскость, чтобы всякая плоскость, параллельная выбранной, пересекала шар и пирамиду по фигурам равной площади?