Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2» для 2-9 класса - сложность 2-4 с решениями

  В треугольнике <i>ABC</i> отрезки <i>CM</i> и <i>BN</i> – медианы, <i>P</i> и <i>Q</i> – точки соответственно на <i>AB</i> и <i>AC</i> такие, что биссектриса угла <i>C</i> треугольника одновременно является биссектрисой угла <i>MCP</i>, а биссектриса угла <i>B</i> – биссектрисой угла <i>NBQ</i>. Можно ли утверждать, что треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, если

  а)  <i>BP = CQ</i>;

  б)  <i>AP = AQ</i>;

  в)  <i>PQ || BC</i>? 

Каждая сторона правильного треугольника разбита на <i>n</i> равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на <i>n</i>² маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску.

  а) Какое наибольшее число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений, если  <i>n</i> = 10?

  б) Тот же вопрос для  <i>n</i> = 9.

Раскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?