Олимпиадные задачи из источника «Занятие 10. Инварианты» для 2-8 класса - сложность 1-5 с решениями

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., 99, 100. Разрешается менять местами два числа, между которыми стоит ровно одно число. Можно ли получить ряд 100, 99, 98, ..., 2, 1?

Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых лежит по селёдке. Разрешается за один ход передвинуть любые две селёдки в соседних секторах, двигая их в разные стороны. Можно ли с помощью этой операции собрать все селёдки в одном секторе?

Круг разделен на 6 секторов, в котором по часовой стрелке стоят числа 1,0,1,0,0,0. Можно прибавлять по единице к любым числам, стоящим в двух соседних секторах. Можно ли сделать все числа равными?

В одной вершине куба написано число 1, а в остальных – нули. Можно прибавлять по единице к числам в концах любого ребра.

Можно ли добиться, чтобы все числа делились  а) на 2;  б) на 3?

Набор чисел<var>a</var>,<var>b</var>,<var>c</var>каждую секунду заменяется на<var>a</var>+<var>b</var>−<var>c</var>,<var>b</var>+<var>c</var>−<var>a</var>,<var>c</var>+<var>a</var>−<var>b</var>. В начале имеется набор чисел 2000, 2002, 2003. Может ли через некоторое время получиться набор 2001, 2002, 2003.

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 20. Разрешается стереть любые два числа<var>a</var>и<var>b</var>и заменить их суммой<var>ab</var>+<var>a</var>+<var>b</var>. Какое число может получиться после 19 таких операций?

На доске написаны числа

  а) 1, 2, 3, ..., 2003;

  б) 1, 2, 3, ..., 2005.

Разрешается стереть два любых числа и вместо них написать их разность. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали нулями?

В таблице 3×3 одна из угловых клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.