Олимпиадные задачи из источника «Занятие 10. Инварианты» для 9-10 класса - сложность 1-4 с решениями

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., 99, 100. Разрешается менять местами два числа, между которыми стоит ровно одно число. Можно ли получить ряд 100, 99, 98, ..., 2, 1?

В одной вершине куба написано число 1, а в остальных – нули. Можно прибавлять по единице к числам в концах любого ребра.

Можно ли добиться, чтобы все числа делились  а) на 2;  б) на 3?

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 20. Разрешается стереть любые два числа<var>a</var>и<var>b</var>и заменить их суммой<var>ab</var>+<var>a</var>+<var>b</var>. Какое число может получиться после 19 таких операций?

На доске написаны числа

  а) 1, 2, 3, ..., 2003;

  б) 1, 2, 3, ..., 2005.

Разрешается стереть два любых числа и вместо них написать их разность. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали нулями?