Олимпиадные задачи из источника «Занятие 19. Задачи на целые числа» для 3-10 класса - сложность 2-3 с решениями

На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить озеро за 1 день, а стадо из 37 слонов – за 5 дней.

За сколько дней выпьет озеро один слон?

По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник, если скорость его была постоянной?

Доказать, что для любого натурального <i>n</i> число  6^{2(<i>n</i>+1)} − 2^<i>n</i>+3·3^{<i>n</i> + 2} + 36  делится на 900.

Доказать, что число  2⁹ + 2⁹⁹  делится на 100.

Пусть <i>p</i> – простое число, отличное от 2 и 5. Доказать, что  <i>p</i>⁴ − 1  делится на 10.

Доказать, что при натуральном <i>n</i> число  <i>nm</i> + 1  будет составным хотя бы для одного натурального <i>m</i>.