Олимпиадные задачи из источника «Занятие 8. Принцип Дирихле» для 6-9 класса - сложность 1-3 с решениями

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

Можно ли в таблице 6*6 расставить числа 0,1,-1 так, чтобы все суммы по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были различны.

Доказать, что найдётся число вида

  а) 1989...19890...0 (несколько раз повторено число 1989, а затем стоит несколько нулей), делящееся на 1988;

  б) 1988...1988, делящееся на 1989.

Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.

30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.

Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

В таблицу 9×9 вписаны все целые числа от 1 до 81. Доказать, что найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 6.

Если имеется 100 любых целых чисел, то среди них всегда можно взять несколько (или может быть одно) так, что в сумме они дадут число, делящееся на 100. Доказать.