Олимпиадные задачи из источника «1999/00» для 7 класса - сложность 2-4 с решениями
Не встречается ли а) в 100-й строке треугольника Паскаля число 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99? б) в 200-й строке сумма квадратов чисел, стоящих в 100-й строке?
Найдите натуральное число, большее единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля
а) больше трёх раз.
б) больше четырёх раз.
Улитка проснулась, доползла от гриба до родника и уснула. Путешествие заняло шесть часов. Улитка ползла то быстрее, то медленнее, останавливалась. За улиткой наблюдали несколько учёных. Известно, что:
1) В каждый момент путешествия улитку наблюдал хотя бы один учёный.
2) Каждый учёный наблюдал неспящую улитку в течение одного часа (без перерыва) и говорит, что за это время улитка проползла ровно один метр.
Каково наибольшее возможное расстояние от гриба до родника?
Поезд двигался в одном направлении 5,5 часов. Известно, что за каждый отрезок времени длительностью 1 час он проезжал ровно 100 км. Можно ли утверждать, что:
а) поезд ехал с постоянной скоростью?
б) поезд проехал 550 км?
Инженер ежедневно приезжает поездом на вокзал в 8 часов утра. Точно в 8 часов к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит инженера на завод. Однажды инженер приехал на вокзал в 7 часов утра и пошёл навстречу машине. Встретив машину, он сел в неё и приехал на завод на 20 минут раньше, чем обычно. Сколько времени инженер шёл пешком? Скорости автомобиля и инженера постоянны.
а) Каждые две из шести ЭВМ соединены своим проводом. Укажите, как раскрасить каждый из этих проводов в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета.
б) Каждые две из девяти ЭВМ соединены своим проводом. Можно ли раскрасить каждый из этих проводов в один из восьми цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило восемь проводов разного цвета?
Что больше:
а) <sup>1</sup>/<sub>101</sub> + <sup>1</sup>/<sub>102</sub> + ... + <sup>1</sup>/<sub>199</sub> + <sup>1</sup>/<sub>200</sub> или <sup>1</sup>/<sub>2</sub> ?
б) <sup>1</sup>/<sub>2</sub>·<sup>3</sup>/<sub>4</sub>·<sup>5</sup>/<sub>6</sub>·...·<sup>97</sup>/<sub>98</sub>·<sup>99</sup>/<sub>100</sub> или <sup>1</sup>/<sub>10</sub> ?
Имеется необычный калькулятор. При включении калькулятора на экране возникает дробь <sup>1</sup>/<sub>1</sub>. При нажатии на кнопку * к числителю дроби, изображенной на экране, прибавляется знаменатель, а знаменатель остается прежним. При нажатии на кнопку $ числитель и знаменатель дроби меняются местами. Других кнопок на калькуляторе нет.
а) Что покажет калькулятор после выполнения следующей последовательности команд: $ * * * * * * * * * * $ ?
Как добиться того, чтобы калькулятор показал:
б) <sup>1</sup>/<sub>2</sub>, в) <sup>7</sup>/<sub>3</sub>, г) <sup>4</sup>/<sub>11</sub>, д) <sup>57</sup>/<sub>91</sub> ?
Тройкина положила в общую печь три полена, Пятеркина положила пять поленьев, а Бестопливный не положил ни одного. Все трое уверены, что тепла от печки им досталось поровну. В возмещение расходов Бестопливный уплатил соседкам 80 копеек. Как они должны поделить эти деньги?