Олимпиадные задачи из источника «1998/99»

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:

  а) (2<i>n</i>+1)-угольника;  б) 2<i>n</i>-угольника?

На шахматной доске расставлены 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что на полях чёрного цвета расположено чётное число ладей.

На прямой даны точки <i>А, В</i> и, кроме того, 57 точек, лежащих вне отрезка <i>АВ</i>. Каждая из этих 57 точек – либо красного, либо синего цвета. Рассмотрим следующие суммы:

  <i>S</i>₁ – сумма расстояний от точки <i>А</i> до всех красных точек плюс сумма расстояний от точки <i>В</i> до всех синих точек;

  <i>S</i>₂ – сумма расстояний от точки <i>А</i> до всех синих точек плюс сумма расстояний от точки <i>В</i> до всех красных точек.

Доказать, что  <i>S</i>₁ ≠ <i>S</i>₂.

На доске написаны числа

  а) 1, 2. 3, ..., 1997, 1998;

  б) 1, 2, 3, ..., 1998, 1999;

  в) 1, 2, 3, ..., 1999, 2000.

Разрешается стереть с доски любые два числа, заменив их разностью большего и меньшего. Можно ли, выполнив эту операцию много раз. получить на доске единственное число – 0? Если да, то как это сделать?

Доказать: произведение

  а) двух нечётных чисел нечётно;

  б) чётного числа с любым целым числом чётно.

Доказать: сумма

  а) любого количества чётных слагаемых чётна;

  б) чётного количества нечётных слагаемых чётна;

  в) нечётного количества нечётных слагаемых нечётна.

Вася шёл от дома до автобусной остановки пешком со скоростью 4 км/ч, затем ехал на автобусе до школы со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь 1 час. Обратно из школы он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч и шёл пешком от остановки до дома со скоростью 3 км/ч. На обратную дорогу он потратил 1 час 5 мин. Найти путь, который Вася проехал на автобусе, и расстояние от дома до остановки.

Конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.