Олимпиадные задачи из источника «6 класс» для 9 класса - сложность 1-3 с решениями

  а) Скупой рыцарь хранит золотые монеты в шести сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну в эти два сундука. Еще он заметил, что если открыть любые 3, 4 или 5 сундуков, то тоже можно переложить лежащие в них монеты таким образом, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга так и не узнал, можно ли разложить все монеты поровну по всем шести сундукам. Можно ли, не заглядывая в заветные сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?

  б) А если сундуков было восемь, а Скупой рыцарь мог разложить поровну монеты, лежащие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сундуках?

Любознательный турист хочет прогуляться по улицам Старого города от вокзала (точка <i>A</i> на плане) до своего отеля (точка <i>B</i>). Турист хочет, чтобы его маршрут был как можно длиннее, но дважды оказываться на одном и том же перекрестке ему неинтересно, и он так не делает. Нарисуйте на плане самый длинный возможный маршрут и докажите, что более длинного нет. <div align="center"><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111897/problem_111897_img_2.gif"></div>

Если у осьминога четное число ног, он всегда говорит правду. Если нечетное, то он всегда лжет. Однажды зеленый осьминог сказал темно-синему:

• У меня 8 ног. А у тебя только 6.
• Это у меня 8 ног, - обиделся темно-синий. - А у тебя всего 7.
• У темно-синего действительно 8 ног, - поддержал фиолетовый и похвастался: - А вот у меня целых 9!
• Ни у кого из вас не 8 ног, - вступил в разговор полосатый осьминог. - Только у меня 8 ног! У кого из осьминогов было ровно 8 ног?