Олимпиадные задачи из источника «47 Международная Математическая Олимпиада (2006 год)» для 3-8 класса - сложность 2-3 с решениями
47 Международная Математическая Олимпиада (2006 год)
НазадНайдите все такие пары (<i>x, y</i>) целых чисел, что 1 + 2<i><sup>x</sup></i> + 2<sup>2<i>x</i>+1</sup> = <i>y</i>².
Точка<i>I</i>– центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Внутри треугольника выбрана точка<i>P</i>такая, что <center> <font face="Symbol">Ð</font><i>PBA</i> + <font face="Symbol">Ð</font><i>PCA</i> = <font face="Symbol">Ð</font><i>PBC</i> + <font face="Symbol">Ð</font><i>PCB.</i></center> Докажите, что<i>AP</i>≥<i>AI</i>, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда<i>P</i>совпадает с<i>I</i>.