Олимпиадные задачи из источника «серия A, 2 тур»

В двух различных плоскостях лежат два треугольника:<i>ABC</i>и<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Прямая<i>AB</i>пересекается с прямой<i>A</i>₁<i>B</i>₁, прямая<i>BC</i>— с прямой<i>B</i>₁<i>C</i>₁, прямая<i>CA</i>— с прямой<i>C</i>₁<i>A</i>₁. Доказать, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁или все три пересекаются в одной точке, или...

На поверхности куба найти точки, из которых диагональ видна под наименьшим углом. Доказать, что из остальных точек поверхности куба диагональ видна под большим углом, чем из найденных.

Дана окружность и на ней 3 точки<i>M</i>,<i>N</i>,<i>P</i>, в которых пересекаются с окружностью (при продолжении) высота, биссектриса и медиана, выходящие из одной вершины вписанного треугольника. Построить этот треугольник.