Олимпиадные задачи из источника «вариант 4, 1 тур»

Развертка боковой поверхности конуса представляет сектор с углом в120^<tt>o</tt>; в конус вписана треугольная пирамида, углы основания которой составляют арифметическую прогрессию с разностью15^<tt>o</tt>. Определить угол наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней.

В треугольнике <i>ABC</i> из произвольной точки <i>D</i> на стороне <i>AB</i> проведены две прямые, параллельные сторонам <i>AC</i> и <i>BC</i>, пересекающие <i>BC</i> и <i>AC</i> соответственно в точках <i>F</i> и <i>G</i>. Доказать, что сумма длин описанных окружностей треугольников <i>ADG</i> и <i>BDF</i> равна длине описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Решить систему уравнений:

  <i>x</i>² + <i>y</i>² – 2<i>z</i>² = 2<i>a</i>²,

  <i>x + y</i> + 2<i>z</i> = 4(<i>a</i>² + 1),

  <i>z</i>² – <i>xy</i> = <i>a</i>².