Олимпиадные задачи из источника «1939 год» для 10 класса - сложность 2-5 с решениями
На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?
Дана правильная пирамида. Из произвольной точки<i>P</i>её основания восставлен перпендикуляр к плоскости основания. Доказать, что сумма отрезков от точки<i>P</i>до точек пересечения перпендикуляра с плоскостями граней пирамиды не зависит от выбора точки<i>P</i>на основании.
Даны два многочлена от переменной <i>x</i> с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной <i>x</i> с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.
Решить уравнение <img width="98" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/76453/problem_76453_img_2.gif"> = <i>x</i>.
Доказать, что cos <sup>2π</sup>/<sub>5</sub> + cos <sup>4π</sup>/<sub>5</sub> = – ½.
Решить систему уравнений:
3<i>xyz – x</i>³ – <i>y</i>³ – <i>z</i>³ = <i>b</i>³,
<i>x + y + z</i> = 2<i>b</i>,
<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>b</i>².
Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.