Олимпиадные задачи из источника «9,10 класс, 1 тур» для 8-9 класса - сложность 1-4 с решениями

Докажите, что каково бы ни было целое число <i>n</i>, среди чисел <i>n,  n</i> + 1,  <i>n</i> + 2,  ...,  <i>n</i> + 9  есть хотя бы одно, взаимно простое с остальными девятью.

В каком из выражений:  (1 – <i>x</i>² + <i>x</i>³)¹⁰⁰⁰,   (1 + <i>x</i>² – <i>x</i>³)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при <i>x</i>²⁰?

Дан выпуклый пятиугольник<i>ABCDE</i>. Сторонами, противоположными вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>, мы называем соответственно отрезки<i>CD</i>,<i>DE</i>,<i>EA</i>,<i>AB</i>,<i>BC</i>. Докажите, что если произвольную точку<i>M</i>, лежащую внутри пятиугольника, соединить прямыми со всеми его вершинами, то из этих прямых либо ровно одна, либо ровно три, либо ровно пять пересекают стороны пятиугольника, противоположные вершинам, через которые они проходят.