Олимпиадные задачи из источника «7,8 класс, 2 тур» для 7-8 класса - сложность 3-4 с решениями

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс'', а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус''. Докажите, что для любого такого пути алгебраическая сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

(<i>Эту задачу не решил никто из участников олимпиады</i>.)

Если имеется 100 любых целых чисел, то среди них всегда можно взять несколько (или может быть одно) так, что в сумме они дадут число, делящееся на 100. Доказать.

В произвольном (<i>выпуклом — прим. ред.</i>) шестиугольнике соединены через одну середины сторон. Докажите, что точки пересечения медиан двух образовавшихся треугольников совпадают.

Даны два треугольника:$\Delta$<i>ABC</i>и$\Delta$<i>DEF</i>и точка<i>O</i>. Берется любая точка<i>X</i>в$\Delta$<i>ABC</i>и любая точка<i>Y</i>в$\Delta$<i>DEF</i>; треугольник<i>OXY</i>достаивается до параллелограмма<i>OXZY</i>.

а) Докажите, что все полученные таким образом точки образуют многоугольник.

б) Сколько сторон он может иметь?

в) Докажите, что его периметр равен сумме периметров исходных треугольников.