Олимпиадные задачи из источника «1949 год» для 6-9 класса - сложность 2 с решениями

Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.

12 полей расположены по кругу: на четырёх соседних полях стоят четыре разноцветных фишки: красная, жёлтая, зелёная и синяя.

Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали опять на те же четыре поля. Как они могут при этом переставиться?

Дана плоская замкнутая ломаная периметра 1. Доказать, что можно начертить круг радиусом${\frac{1}{4}}$, покрывающий всю ломаную.

Доказать, что равенство  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 2<i>xyz</i>  для целых <i>x, y</i> и <i>z</i> возможно только при  <i>x = y = z</i> = 0.

Показать, что  27195⁸ – 10887⁸ + 10152⁸  делится на 26460.