Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур»

Докажите, что ни при каком целом <i>A</i> многочлен  3<i>x</i>^2<i>n</i> + <i>Ax</i>^<i>n</i> + 2  не делится на многочлен  2<i>x</i>^2<i>m</i> + <i>Ax</i>^<i>m</i> + 3.

Докажите, что сумма<div align="CENTER"> cos 32<i>x</i> + <i>a</i>₃₁cos 31<i>x</i> + <i>a</i>₃₀cos 30<i>x</i> + ... + <i>a</i>₁cos <i>x</i> </div>принимает как положительные, так и отрицательные значения.

200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем из отобранных 10 человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>ABC</i> = 20°.  На равных сторонах <i>CB</i> и <i>AB</i> взяты соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  ∠<i>PAC</i> = 50°  и  ∠<i>QCA</i> = 60°.

Докажите, что  ∠<i>PQC</i> = 30°.

Поместить в полый куб с ребром<i>a</i>три цилиндра диаметра${\frac{a}{2}}$и высоты<i>a</i>так, чтобы они не могли менять своего положения внутри куба.