Олимпиадные задачи из источника «1953 год» для 2-9 класса - сложность 1 с решениями
Решить систему
<i>x</i><sub>1</sub> + 2<i>x</i><sub>2</sub> + 2<i>x</i><sub>3</sub> + 2<i>x</i><sub>4</sub> + 2<i>x</i><sub>5</sub> = 1,
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 4<i>x</i><sub>3</sub> + 4<i>x</i><sub>4</sub> + 4<i>x</i><sub>5</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 5<i>x</i><sub>3</sub> + 6<i>x</i><sub>4</sub> + 6<i>x</i><sub>5</sub> = 3,
<i>x</i><sub>1<...
Около окружности описан четырёхугольник. Его диагонали пересекаются в центре этой окружности. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Найти геометрическое место точек, координаты которых (<i>x</i>,<i>y</i>) удовлетворяют соотношениюsin(<i>x</i>+<i>y</i>) = 0.
Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> число <i>n</i>² + 8<i>n</i> + 15 не делится на <i>n</i> + 4.
Доказать, что в трапеции сумма углов при меньшем основании больше, чем при большем.