Олимпиадные задачи из источника «1955 год» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
Дан треугольник<i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub>. На его сторонах<i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub>,<i>B</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub>,<i>C</i><sub>0</sub><i>A</i><sub>0</sub>взяты точки<i>C</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>соответственно. На сторонах<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>,<i>C</i>...
Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?
Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.
Трёхчлен <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> при всех целых <i>x</i> является точным квадратом. Доказать, что тогда <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = (<i>dx + e</i>)².
В турнире собираются принять участие 25 шахматистов. Все они играют в разную силу, и при встрече всегда побеждает сильнейший.
Какое наименьшее число партий требуется, чтобы определить двух сильнейших игроков?
На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Доказать, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.