Олимпиадные задачи из источника «1955 год» для 11 класса - сложность 4-5 с решениями
Дан треугольник<i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub>. На его сторонах<i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub>,<i>B</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub>,<i>C</i><sub>0</sub><i>A</i><sub>0</sub>взяты точки<i>C</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>соответственно. На сторонах<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>,<i>C</i>...
Трёхчлен <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> при всех целых <i>x</i> является точным квадратом. Доказать, что тогда <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = (<i>dx + e</i>)².
В турнире собираются принять участие 25 шахматистов. Все они играют в разную силу, и при встрече всегда побеждает сильнейший.
Какое наименьшее число партий требуется, чтобы определить двух сильнейших игроков?