Олимпиадные задачи из источника «1955 год» для 9 класса - сложность 3-5 с решениями
Дан треугольник<i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub>. На его сторонах<i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub>,<i>B</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub>,<i>C</i><sub>0</sub><i>A</i><sub>0</sub>взяты точки<i>C</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>соответственно. На сторонах<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>,<i>C</i>...
Числа [<i>a</i>], [2<i>a</i>], ..., [<i>Na</i>] различны между собой, и числа$\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$${\frac{1}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$,$\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$${\frac{2}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$, ...,$\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$${\frac{M}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$тоже различны между собой. Найти все такие<i>a</i>.
Неравенство<div align="CENTER"> <i>Aa</i>(<i>Bb</i> + <i>Cc</i>) + <i>Bb</i>(<i>Cc</i> + <i>Aa</i>) + <i>Cc</i>(<i>Aa</i> + <i>Bb</i>) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(<i>ABc</i><sup>2</sup> + <i>BCa</i><sup>2</sup> + <i>CAb</i><sup>2</sup>), </div>где<i>a</i>> 0,<i>b</i>> 0,<i>c</i>> 0 — данные числа, выполняется для всех<i>A</i>> 0,<i>B</i>> 0,<i>C</i>> 0. Можно ли из отрезков<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>составить треугольник?
Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.
Трёхчлен <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> при всех целых <i>x</i> является точным квадратом. Доказать, что тогда <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = (<i>dx + e</i>)².
Трёхчлен <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> при всех целых <i>x</i> является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда <i>a = b</i> = 0.
<i>p</i> простых чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>p</sub></i> образуют возрастающую арифметическую прогрессию и <i>a</i><sub>1</sub> > <i>p</i>.
Доказать, что если <i>p</i> – простое число, то разность прогрессии делится на <i>p</i>.
Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.
Дан равносторонний$\Delta$<i>ABC</i>. На сторонах<i>AB</i>и<i>BC</i>взяты точки<i>D</i>и<i>E</i>так, что<i>AE</i>=<i>CD</i>. Найти геометрическое место точек пересечения отрезков<i>AE</i>и<i>CD</i>.