Олимпиадные задачи из источника «1956 год» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями
На клетчатой бумаге выбраны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник<i>ABC</i>остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.
Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие соседние точки касания и не пересекающиеся в одной из этих точек, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей.
Взяли три числа<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>. Вычислили абсолютные величины попарных разностей<i>x</i><sub>1</sub> = |<i>x</i> - <i>y</i>|,<i>y</i><sub>1</sub>= |<i>y</i>-<i>z</i>|,<i>z</i><sub>1</sub>= |<i>z</i>-<i>x</i>|. Тем же способом по числам<i>x</i><sub>1</sub>,<i>y</i><sub>1</sub>,<i>z</i><sub>1</sub>построили числа<i>x</i><sub>2</sub>,<i>y</i><sub>2</sub>,<i>z</i><sub>2</sub>и т.д. Оказалось, что при некотором<i>n</i><i>x</i><sub>n<...
В кубе, ребро которого равно 13, выбрано 1956 точек. Можно ли в этот куб поместить кубик с ребром 1 так, чтобы внутри него не было ни одной выбранной точки?
Груз весом 13,5 т упакован в ящики так, что вес каждого ящика не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Весом пустого ящика можно пренебречь.)
Даны положительные числа<i>h</i>,<i>s</i><sub>1</sub>,<i>s</i><sub>2</sub>и расположенный в пространстве треугольник<i>ABC</i>. Сколькими способами можно выбрать точку<i>D</i>так, чтобы в тетраэдре<i>ABCD</i>высота, опущенная из вершины<i>D</i>, была равна<i>h</i>, а площади граней<i>ACD</i>и<i>BCD</i>соответственно<i>s</i><sub>1</sub>и<i>s</i><sub>2</sub>(исследовать все возможные случаи)?
В выпуклом четырехугольнике<i>ABCD</i>взят четырехугольник<i>KLMN</i>, образованный центрами тяжести треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>DBA</i>и<i>CDA</i>. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника<i>ABCD</i>, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника<i>KLMN</i>.
На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).
Пусть <i>a, b, c, d, l</i> – целые числа. Докажите, что если дробь <img width="34" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78068/problem_78068_img_2.gif"> сократима на число <i>k</i>, то <i>ad – bc</i> делится на <i>k</i>.
В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?