Олимпиадные задачи из источника «1956 год» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями

На продолжениях сторон <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, ..., <i>A_nA</i>₁ правильного <i>n</i>-угольника (<i>n</i> ≥ 5) <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> построить точки <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, ..., <i>B_n</i> так, чтобы <i>B</i>₁<i>B</i>₂ было перпендикулярно к <i>A</i><sub>1&lt...

Докажите, что система уравнений     <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂ = <i>a</i>,     <i>x</i>₃ – <i>x</i>₄ = <i>b</i>,     <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 1 имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда  |<i>a</i>| + |<i>b</i>| < 1.

Дана замкнутая пространственная ломаная. Некоторая плоскость пересекает все её звенья:<i>A</i>₁<i>A</i>₂в точке<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>A</i>₃— в точке<i>B</i>₂, ...,<i>A</i>_n<i>A</i>₁-- в точке<i>B</i>_n. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{A_1B_1}{B_1A_2}}$$\displaystyle {\frac{A_2B_2}{B_2A_3}}$...$\displaystyle {\frac{A_nB_n}{B_nA_1}}$ = 1. </div>

Даны положительные числа<i>h</i>,<i>s</i>₁,<i>s</i>₂и расположенный в пространстве треугольник<i>ABC</i>. Сколькими способами можно выбрать точку<i>D</i>так, чтобы в тетраэдре<i>ABCD</i>высота, опущенная из вершины<i>D</i>, была равна<i>h</i>, а площади граней<i>ACD</i>и<i>BCD</i>соответственно<i>s</i>₁и<i>s</i>₂(исследовать все возможные случаи)?

В выпуклом четырехугольнике<i>ABCD</i>взят четырехугольник<i>KLMN</i>, образованный центрами тяжести треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>DBA</i>и<i>CDA</i>. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника<i>ABCD</i>, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника<i>KLMN</i>.

Пусть <i>a, b, c, d, l</i> – целые числа. Докажите, что если дробь   <img width="34" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78068/problem_78068_img_2.gif">  сократима на число <i>k</i>, то  <i>ad – bc</i>  делится на <i>k</i>.