Олимпиадные задачи из источника «1956 год» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или симметричны, то все грани этой пирамиды равны.
Подряд выписаны<i>n</i>чисел, среди которых есть положительные и отрицательные. Подчеркивается каждое положительное число, а также каждое число, сумма которого с несколькими непосредственно следующими за ним числами положительна. Докажите, что сумма всех подчеркнутых чисел положительна.
На клетчатой бумаге выбраны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник<i>ABC</i>остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.
Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие соседние точки касания и не пересекающиеся в одной из этих точек, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей.
Взяли три числа<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>. Вычислили абсолютные величины попарных разностей<i>x</i><sub>1</sub> = |<i>x</i> - <i>y</i>|,<i>y</i><sub>1</sub>= |<i>y</i>-<i>z</i>|,<i>z</i><sub>1</sub>= |<i>z</i>-<i>x</i>|. Тем же способом по числам<i>x</i><sub>1</sub>,<i>y</i><sub>1</sub>,<i>z</i><sub>1</sub>построили числа<i>x</i><sub>2</sub>,<i>y</i><sub>2</sub>,<i>z</i><sub>2</sub>и т.д. Оказалось, что при некотором<i>n</i><i>x</i><sub>n<...
В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с пятого знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0,0001). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?
В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2<i>r</i>, но больше$\sqrt{2}$<i>r</i>, где<i>r</i>— радиус окружности, вписанной в треугольник.