Олимпиадные задачи из источника «1956 год» для 4-10 класса - сложность 3 с решениями
На клетчатой бумаге выбраны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник<i>ABC</i>остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.
Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие соседние точки касания и не пересекающиеся в одной из этих точек, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей.
Взяли три числа<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>. Вычислили абсолютные величины попарных разностей<i>x</i><sub>1</sub> = |<i>x</i> - <i>y</i>|,<i>y</i><sub>1</sub>= |<i>y</i>-<i>z</i>|,<i>z</i><sub>1</sub>= |<i>z</i>-<i>x</i>|. Тем же способом по числам<i>x</i><sub>1</sub>,<i>y</i><sub>1</sub>,<i>z</i><sub>1</sub>построили числа<i>x</i><sub>2</sub>,<i>y</i><sub>2</sub>,<i>z</i><sub>2</sub>и т.д. Оказалось, что при некотором<i>n</i><i>x</i><sub>n<...
В кубе, ребро которого равно 13, выбрано 1956 точек. Можно ли в этот куб поместить кубик с ребром 1 так, чтобы внутри него не было ни одной выбранной точки?
100 чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, выписаны в ряд. Подчеркнуто, во-первых, каждое положительное число, во-вторых, каждое число, сумма которого со следующим положительна, и, в-третьих, каждое число, сумма которого с двумя следующими положительна. Может ли сумма всех подчеркнутых чисел оказаться отрицательной? Равной нулю?
64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на двух диагоналях, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно любой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в любой строке меньше 518.
100 чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, выписаны в ряд. Подчеркнуто, во-первых, каждое положительное число, а во-вторых, каждое число, сумма которого со следующим положительна. Может ли сумма всех подчеркнутых чисел оказаться отрицательной? Равной нулю?
В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?
На сторонах<i>AB</i>и<i>CB</i>треугольника<i>ABC</i>откладываются равные отрезки произвольной длины<i>AD</i>и<i>CE</i>. Найти геометрическое место середин отрезков<i>DE</i>.