Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур»

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

Разбить число 1957 на 12 целых положительных слагаемых <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₂ так, чтобы произведение <i>a</i>₁!<i>a</i>₂!...<i>a</i>₁₂! было минимально.

Два равных диска насажены на одну ось. На окружности каждого из них по кругу на одинаковых расстояниях в произвольном порядке расставлены числа 1, 2, 3, ..., 20. Всегда ли можно повернуть один диск относительно другого так, чтобы никакие два одинаковых числа не стояли друг против друга?

Найти все действительные решения системы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78121/problem_78121_img_2.gif">

Два прямоугольника положены на плоскость так, что их границы имеют восемь точек пересечения. Эти точки соединены через одну. Доказать, что площадь полученного четырёхугольника не изменится при поступательном перемещении одного из прямоугольников.