Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» для 5-9 класса - сложность 2-3 с решениями
9 класс, 1 тур
НазадОтрезок длиной 3<sup>n</sup>разбивается на три равные части. Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Доказать, что для любого целого<i>k</i>(1$\le$<i>k</i>$\le$3<sup>n</sup>) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно<i>k</i>.
Решить в целых положительных числах уравнение
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/78143/problem_78143_img_2.gif"></div>
Доказать, что если |<i>ax</i>² – <i>bx + c</i>| < 1 при любом <i>x</i> из отрезка [–1, 1], то и |(<i>a + b</i>)<i>x</i>² + <i>c</i>| < 1 на этом отрезке.
Бесконечная плоская ломаная<i>A</i><sub>0</sub><i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>..., все углы которой прямые, начинается в точке<i>A</i><sub>0</sub>с координатами<i>x</i>= 0,<i>y</i>= 1 и обходит начало координат<i>O</i>по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние<i>OA</i><sub>n</sub>=<i>l</i><sub>n</sub>. Сумма длин первых<i>n</i>звеньев ломаной равна<i>s</i><sub>n</sub>. До...