Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» для 5-9 класса - сложность 1-3 с решениями

Задача 178185 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Дана невозрастающая последовательность чисел   <sup>1</sup>/<sub>2<i>k</i></sub> = <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> ≥ ... > 0,  <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i> + ... = 1.

Доказать, что найдутся <i>k</i> чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.

Последовательности Алгебраические неравенства и системы неравенств Доказательство от противного
Задача 178176 • Сложность: 1 • 9-10 класс

Дан выпуклый четырёхугольник<i>ABCD</i>. Середины сторон<i>AB</i>и<i>CD</i>обозначим соответственно через<i>K</i>и<i>M</i>, точку пересечения<i>AM</i>и<i>DK</i>— через<i>O</i>, точку пересечения<i>BM</i>и<i>CK</i>— через<i>P</i>. Доказать, что площадь четырёхугольника<i>MOKP</i>равна сумме площадей треугольников<i>BPC</i>и<i>AOD</i>.

Планиметрия

Фильтры

Все
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Все
1
2
3
4
5
Локальная подборка