Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур»

В углах шахматной доски 3 на 3 стоят кони: в верхних углах — белые, в нижних — чёрные. Доказать, что для того, чтобы им поменяться местами, потребуется не менее 16 ходов. (Кони не обязательно ходят сначала белый, потом чёрный. Ходом считается ход одного коня.)

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Доказать, что не более одной вершины тетраэдра обладает тем свойством, что сумма любых двух плоских углов при этой вершине больше180^<tt>o</tt>.

<i>n</i>отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2<i>n</i>-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2<i>n</i>-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.

Даны сто чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂,..., <i>x</i>₁₀₀, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей  <i>x</i>_<i>k</i>+1 – <i>x_k</i>  меньше ¹/₅₀ каждая.

Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.