Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» для 10 класса - сложность 2-4 с решениями

Дан выпуклый многоугольник и точка<i>O</i>внутри него. Любая прямая, проходящая через точку<i>O</i>, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и<i>O</i>— центр симметрии.

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  <i>p + n</i>^2<i>k</i>  ни при каких простых <i>p</i> и целых <i>n</i> и <i>k</i>.