Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 8-11 класса - сложность 2 с решениями

Дана ладья, которой разрешается делать ходы только длиной в одну клетку. Доказать, что она может обойти все клетки прямоугольной шахматной доски, побывав на каждой клетке ровно один раз, и вернуться в начальную клетку тогда и только тогда, когда число клеток на доске чётно.

См.<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78240">задачу 3 для 7 класса</a>.

Дан треугольник<i>ABC</i>и точка<i>O</i>.<i>M</i>₁,<i>M</i>₂,<i>M</i>₃— центры тяжести треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCA</i>соответственно. Доказать, что площадь треугольника<i>M</i>₁<i>M</i>₂<i>M</i>₃равна 1/9 площади<i>ABC</i>.