Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 3-9 класса - сложность 2 с решениями

С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами<i>r</i>₁,<i>r</i>₂,<i>r</i>₃,<i>r</i>₄, причём<i>r</i>₁+<i>r</i>₃=<i>r</i>₂+<i>r</i>₄<<i>d</i>;<i>d</i>— диагональ прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.

Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78261/problem_78261_img_2.gif"></div>Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но её вершины не должны лежать на отрезках, а стороны – проходить через вершины фигуры.