Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 7-9 класса - сложность 3-5 с решениями
8 класс, 2 тур
НазадПо аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора1, 2,..., 1963, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?
Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.
<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>— произвольные натуральные числа. Обозначим через<i>b<sub>k</sub></i>количество чисел из набора<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>, удовлетворяющих условию: <i>a<sub>i</sub></i>≥<i>k</i>. Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub>+ ... +<i>a<sub>n</sub></i>=<i>b</i><sub>1</sub>+<i>b</i><sub>2</sub>+ ...