Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 7-8 класса - сложность 3 с решениями
8 класс, 2 тур
НазадВнутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>7</sub>взята произвольно точка<i>O</i>. Обозначим через<i>H</i><sub>1</sub>,<i>H</i><sub>2</sub>,...,<i>H</i><sub>7</sub>основания перпендикуляров, опущенных из точки<i>O</i>на стороны<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>,...,<i>A</i><sub>7</sub><i>A</i><sub>1</sub>соответственно. Известно, что точки<i>H</i>&l...
Даны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, лежащие на одной прямой, и точка<i>O</i>вне этой прямой. Обозначим через<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>3</sub>центры окружностей, описанных около треугольников<i>OAB</i>,<i>OAC</i>,<i>OBC</i>. Доказать, что точки<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>3</sub>и<i>O</i>лежат на одной окружности.
В<i>n</i>стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких<i>n</i>можно в конечное число шагов слить воду в один стакан?