Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур» для 8-9 класса - сложность 3 с решениями
9 класс, 2 тур
НазадНа клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны.
Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.
В треугольнике<i>ABC</i>сторона<i>BC</i>равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла<i>A</i>перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.
Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>7</sub>взята произвольно точка<i>O</i>. Обозначим через<i>H</i><sub>1</sub>,<i>H</i><sub>2</sub>,...,<i>H</i><sub>7</sub>основания перпендикуляров, опущенных из точки<i>O</i>на стороны<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>,...,<i>A</i><sub>7</sub><i>A</i><sub>1</sub>соответственно. Известно, что точки<i>H</i>&l...
В<i>n</i>стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких<i>n</i>можно в конечное число шагов слить воду в один стакан?