Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 9 класса - сложность 2-4 с решениями

30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.

Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

Дана прямая<i>a</i>и два непараллельных отрезка<i>AB</i>и<i>CD</i>по одну сторону от неё. Найти на прямой<i>a</i>такую точку<i>M</i>, чтобы треугольники<i>ABM</i>и<i>CDM</i>были равновелики.

Докажите следующий признак делимости на 37. Для того, чтобы узнать, делится ли число на 37, надо разбить его справа налево на группы по три цифры. Если сумма полученных трёхзначных чисел делится на 37, то и данное число делится на 37. (Слово "трёхзначные" употреблено условно: некоторые из групп могут начинаться с нулей и быть на самом деле двузначными или меньше; не трёхзначной будет и самая левая группа, если количество цифр нашего числа не кратно 3.)