Олимпиадные задачи из источника «1966 год» для 7-8 класса - сложность 4 с решениями

а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,

а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.

Дано: $$ a_1=1,a_k=\left[\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}\right].$$Найти $a_{1000}$. <b>Примечание.</b> $\left[A\right]$ — целая часть $A$.