Олимпиадные задачи из источника «1972 год» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы Г'' . Концы коротких палочек у букв Г'' обозначим через<i>A</i>и<i>A'</i>. Длинные палочки разделены на<i>n</i>равных частей точками<i>a</i>₁, ...,<i>a</i>_{n - 1};<i>a'</i>₁, ...,<i>a'</i>_{n - 1}(точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые<i>Aa</i>₁,<i>Aa</i>₂, ...,<i>Aa</i>_{n - 1};<i>A'a</i>^{$\scriptstyle \prime$}₁,<i>A'a&...