Олимпиадные задачи из источника «1972 год» для 2-8 класса - сложность 2 с решениями
На плоскости проведены четыре прямые<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>. Никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Известно, что прямая<i>a</i>параллельна одной из медиан треугольника, образованного прямыми<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>. Доказать, что прямая<i>b</i>параллельна некоторой медиане треугольника, образованного прямыми<i>a</i>,<i>c</i>и<i>d</i>.
В треугольнике<i>ABC</i>проведены медианы<i>AD</i>и<i>BE</i>. Углы<i>CAD</i>и<i>CBE</i>равны30<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать, что треугольник<i>ABC</i>правильный.
Каждая вершина правильного 13-угольника покрашена либо в чёрный, либо в белый цвет.
Доказать, что существуют три точки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.
На конгресс приехали 1000 делегатов из разных стран. Каждый делегат знает несколько языков. Известно, что любые трое могут разговаривать между собой без помощи остальных. (При этом, возможно, одному из них придётся переводить разговор двух других.) Доказать, что всех делегатов можно расселить в 500 комнатах так, чтобы в каждой комнате располагались 2 делегата и при этом они могли бы поговорить между собой.
Дано 17 натуральных чисел: <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>17</sub>. Известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78804/problem_78804_img_2.gif"> Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>2</sub> = ... = <i>a</i><sub>17</sub>.