Олимпиадные задачи из источника «1972 год» для 4-9 класса - сложность 2 с решениями
На плоскости проведены четыре прямые<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>. Никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Известно, что прямая<i>a</i>параллельна одной из медиан треугольника, образованного прямыми<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>. Доказать, что прямая<i>b</i>параллельна некоторой медиане треугольника, образованного прямыми<i>a</i>,<i>c</i>и<i>d</i>.
В клетках шахматной доски размером <i>n×n</i> расставлены числа: на пересечении <i>k</i>-й строки и <i>m</i>-го столбца стоит число <i>a<sub>km</sub></i>. При любой расстановке на этой доске <i>n</i> ладей, при которой никакие две из них не бьют друг друга, сумма закрытых чисел равна 1972. Доказать, что существует два таких набора чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> и <i>y</i><sub>1</sub>, ..., <i>y<sub>n</sub></i>, что при всех <i>k</i> и <i>m</i> выполняется равенство <i>a<sub>km</sub> = x<sub>k</sub> + y...
В треугольнике<i>ABC</i>проведены медианы<i>AD</i>и<i>BE</i>. Углы<i>CAD</i>и<i>CBE</i>равны30<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать, что треугольник<i>ABC</i>правильный.
Имеется набор натуральных чисел, причём сумма любых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100.
Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?
Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)
В некоторых клетках квадратной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> стоят звёздочки. Известно, что если вычеркнуть любой набор строк (только не все), то найдётся столбец ровно с одной невычеркнутой звёздочкой. (В частности, если строки совсем не вычёркивать, то столбец ровно с одной звёздочкой существует.) Доказать, что если вычеркнуть любой набор столбцов (только не все), то найдётся строка ровно с одной невычеркнутой звёздочкой.
Каждая вершина правильного 13-угольника покрашена либо в чёрный, либо в белый цвет.
Доказать, что существуют три точки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.
На конгресс приехали 1000 делегатов из разных стран. Каждый делегат знает несколько языков. Известно, что любые трое могут разговаривать между собой без помощи остальных. (При этом, возможно, одному из них придётся переводить разговор двух других.) Доказать, что всех делегатов можно расселить в 500 комнатах так, чтобы в каждой комнате располагались 2 делегата и при этом они могли бы поговорить между собой.
Дано 17 натуральных чисел: <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>17</sub>. Известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78804/problem_78804_img_2.gif"> Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>2</sub> = ... = <i>a</i><sub>17</sub>.