Олимпиадные задачи из источника «1972 год» для 9 класса - сложность 2 с решениями
В клетках шахматной доски размером <i>n×n</i> расставлены числа: на пересечении <i>k</i>-й строки и <i>m</i>-го столбца стоит число <i>a<sub>km</sub></i>. При любой расстановке на этой доске <i>n</i> ладей, при которой никакие две из них не бьют друг друга, сумма закрытых чисел равна 1972. Доказать, что существует два таких набора чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> и <i>y</i><sub>1</sub>, ..., <i>y<sub>n</sub></i>, что при всех <i>k</i> и <i>m</i> выполняется равенство <i>a<sub>km</sub> = x<sub>k</sub> + y...
В треугольнике<i>ABC</i>проведены медианы<i>AD</i>и<i>BE</i>. Углы<i>CAD</i>и<i>CBE</i>равны30<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать, что треугольник<i>ABC</i>правильный.
Имеется набор натуральных чисел, причём сумма любых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100.
Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?
Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)
В некоторых клетках квадратной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> стоят звёздочки. Известно, что если вычеркнуть любой набор строк (только не все), то найдётся столбец ровно с одной невычеркнутой звёздочкой. (В частности, если строки совсем не вычёркивать, то столбец ровно с одной звёздочкой существует.) Доказать, что если вычеркнуть любой набор столбцов (только не все), то найдётся строка ровно с одной невычеркнутой звёздочкой.
Каждая вершина правильного 13-угольника покрашена либо в чёрный, либо в белый цвет.
Доказать, что существуют три точки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.