Олимпиадные задачи из источника «1973 год» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?
Дано число <i>A</i> = <img width="16" height="44" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_2.gif"><img width="77" height="41" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_3.gif"><img width="23" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_4.gif">, где <i>M</i> – натуральное число большее 2.
Доказать, что найдётся такое натуральное <i>k</i>, что <i>A</i> = <img width="93" height="58" align="MIDDLE" border="0" src=&quo...
Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами при некоторых целых <i>x</i> принимает значения 1, 2 и 3.
Доказать, что существует не более одного целого <i>x</i>, при котором значение этого многочлена равно 5.
С натуральным числом <i>K</i> производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей <i>K</i> = <i>p</i><sub>1</sub><i>p</i><sub>2</sub>...<i>p<sub>n</sub></i>; затем вычисляется сумма <i>p</i><sub>1</sub> + <i>p</i><sub>2</sub> + ... + <i>p<sub>n</sub></i> + 1. С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.