Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Из отрезков, имеющих длины<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>, можно составить треугольник. Доказать, что из отрезков с длинами${\frac{1}{a+c}}$,${\frac{1}{b+c}}$,${\frac{1}{a+b}}$также можно составить треугольник.