Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» для 1-10 класса - сложность 2-4 с решениями

Можно ли разместить в пространстве четыре свинцовых шара и точечный источник света так, чтобы каждый исходящий из источника света луч пересекал хотя бы один из шаров?

На шахматной доске размером 8×8 отмечены 64 точки — центры всех клеток. Можно ли отделить все точки друг от друга, проведя 13 прямых, не проходящих через эти точки?

Натуральные числа <i>a, b, c</i> таковы, что числа  <i>p = b^c + a,  q = a^b + c,  r = c^a + b</i>  простые. Доказать, что два из чисел <i>p, q, r</i> равны между собой.

Точка<i>A</i>расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиуса 1 см. Разрешается точку<i>A</i>отразить симметрично относительно произвольной прямой, пересекающей круг; полученную точку отразить симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг, и т.д. Доказать, что: а) за 25 отражений точку<i>A</i>можно переместить внутрь круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

Найти все действительные решения уравнения с четырьмя неизвестными:   <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>t</i>² = <i>x</i>(<i>y + z + t</i>).